【题目】如图, 为圆
的直径,点
,
在圆
上,
,矩形
和圆
所在的平面互相垂直,已知
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的大小;
(Ⅲ)当的长为何值时,二面角
的大小为
.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】试题分析:(1)利用面面垂直的性质,可得平面
,再利用线面垂直的判定,证明
平面
,从而利用面面垂直的判定可得平面
平面
;(2)确定
为直线
与平面
所成的角,过点
作
,交
于
,计算
,即可求得直线
与平面
所成角的大小;(3)建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,平面
的一个法向量
,利用向量的夹角公式,即可求得
的长.
试题解析:(1)∵平面平面
,
平面平面
,∴
平面
,
∵平面
,∴
,
又∵为圆
的直径,∴
,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
(2)根据(1)的证明,有平面
,
∴为
在平面
内的射影,
因此, 为直线
与平面
所成的角,
∵,∴四边形
为等腰梯形,过点
作
,交
于
,
,则
,
在中,根据射影定理
,得
,
,∴
,
∴直线与平面
所成角的大小为30°
(3)
设中点为
,以
为坐标原点,
方向分别为
轴、
轴、
轴方向建立空间直角坐标系(如图).设
,则点
的坐标为
,则
,又
,∴
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,解得
.
∴.
由(1)可知平面
,取平面
的一个法向量为
,
∴,即
,解得
,
因此,当的长为
时,平面
与平面
所成的锐二面角的大小为60°.....12分
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【题目】已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3﹣2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
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【题目】已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上, =λ
,
=μ
,若
=1,
=﹣
,则λ+μ=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】设函数f(x)= cos2x+sin2(x+
). (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈[﹣ ,
)时,求f(x)的取值范围.
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【题目】如图所示,函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣
x2+
x+1上,则f(x)=( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,侧面SAB⊥底面ABCD,并且SA=SB=AB=2,F为SD的中点.
(1)求三棱锥S﹣FAC的体积;
(2)求直线BD与平面FAC所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆C1: 的离心率为
,焦距为
,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点F是椭圆C1的顶点. (Ⅰ)求C1与C2的标准方程;
(Ⅱ)C1上不同于F的两点P,Q满足 ,且直线PQ与C2相切,求△FPQ的面积.
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【题目】已知,
,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)记,设
,
为函数
图象上的两点,且
.
(i)当时,若
在
,
处的切线相互垂直,求证:
;
(ii)若在点,
处的切线重合,求
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=2 ﹣
,则使得f(2x)>f(x﹣3)成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3)
B.(1,+∞)
C.(﹣3,﹣1)
D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)
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