Question

如果f（x₀）是函数f（x）的一个极值，称点（x₀，f（x₀））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）e

a

x

（x≠0且a≠0）
（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；
（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．
（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式

|x|＜1 |y|＜e2

表示的区域内，证明：0≤b＜1．

Answer 1

分析：（1）先对函数求导，若函数f（x）总存在有两个极值点?f′（x）=0有两个根，从而确定a，b的关系
（2）转化为在（-1，1）内f′（x）=0有两个不等实根
结合（1）及根的分布可知，

a2＜4b -1＜ a 2 ＜1 f′(1)＞0 f′(-1)＞0

?

a2＜4b -2＜a＜2 a+b+1＞0 a-b-1＜0

，从而求b的取值范围
（3）若函数f（x）恰有一个极值点且存在a∈R，使A在不等式①

|x ＜1 |y|＜e

?x²-ax+b=0的根在①的区域内只有一个，结合根的分别可求结果．

解答：解：（1）f′(x)=a•e

a

x

+(ax-b)(-

a

x2

)•e

a

x

令f'（x）=0得x²-ax+b=0
∵函数f（x）总存在有两个极值点
∴x²-ax+b=0由2个不同的实数根
∴a²-4b＞0
又∵a≠0且x≠0
∴b＜

a2

4

且b≠0（3分）
（2）x²-ax+b=0在（-1，1）有两个不相等的实根．
即

△=a2-4b＞0 -1＜ a 2 ＜1 1+a+b＞0 1-a+b＞0

得

4b＞a2 a2＜4 b＜-1

∴-1＜b＜1且b≠0（7分）
（3）由①f'（x）=0?x²-ax+b=0（x≠0）
①当b=0f′(x)=a•e

a

x

•

x2-ax+b

x2

在x=a左右两边异号
∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一个极值点
由题意知

-1＜a＜1且a≠0 -e＜(a2-b)e＜e

即

0＜a2＜1 -1＜a2＜1

即0＜a²＜1
存在这样的a的满足题意
∴b=0符合题意（9分）
②当b≠0时，f′（x）=

a•e a x

x2

(x2-ax+b)
△=a²-4b=0即4b=a²
这里函数y=f（x）唯一的一个驻点为(

a

2

，f(

a

2

))
由题意

| 1 2 a|＜1且a≠0 -e＜ a2 2 -b＜e

即

0＜a2＜4 -e 1 2 ＜ a2 2 -b＜e 1 2

即

0＜4b＜4 -e 1 2 ＜b＜e 1 2

∴0＜b＜1（13分）
综上知：满足题意b的范围为b∈[0，1）．（14分）

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件及有限制条件的极值的取值，结合二次函数的图象，转化为实根分布问题．