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【题目】已知椭圆C: 的上顶点M与左、右焦点F1、F2构成三角形MF1F2面积为 ,又椭圆C的离心率为
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆C的下顶点为N,过点T(t,2)(t≠0)的直线TM,TN分别与椭圆C交于E,F两点.若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍,求k的最大值.

【答案】
(1)解:椭圆离心率e= =

,a2=b2+c2

解得a=2,b=1,

∴椭圆C的方程为


(2)解:∵STMN= |MN||t|=|t|,

直线TM的方程为:y=

联立 ,得

∴E( ),

直线TN的方程为:y=

联立 ,得

∴F( ),

∵E到直线TN:3x﹣ty﹣t=0的距离:

d= =

TF=

=

=

=

∴STEF= = =

∴STEF= = =

∴k= =

令t2+12=n>12,则k= =1+

当且仅当n=24,即t= 时,等号成立,

∴k的最大值为


【解析】(1)由椭圆的上顶点M与左、右焦点构成三角形面积为 ,离心率为 ,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)STMN= |MN||t|=|t|,直线TM的方程为:y= ,直线TN的方程为:y= ,求出E、F、E到直线TN:3x﹣ty﹣t=0的距离和TF,从而得到k= = ,由此能求出k的最大值.

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