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(本小题10分)如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.

 

(1) 求证:面PCC1⊥面MNQ;

(2) 求证:PC1∥面MNQ。

 

 

【答案】

见解析。

【解析】本试题主要是考查了面面垂直的运用以及线面平行的证明综合运用。

(1)因为AC=BC, P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA1⊥面ABC,CC1∥AA1

CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内,由此推理得到MN⊥面PCC1即可。

(2)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN∥PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.

又∵Q是C1B1的中点    ∴PC1∥KQ,则由线面平行 的判定定理得到结论。

证明:(1)∵AC=BC, P是AB的中点      ∴AB⊥PC  ∵AA1⊥面ABC,CC1∥AA1

∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内       ∴CC1⊥AB, ∵CC1∩PC=C   ∴AB⊥面PCC1;      

又∵M、N分别是AA1、BB1的中点,四边形AA1B1B是平行四边形,MN∥AB,∴MN⊥面PCC1   

∵MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ; 

(2)连PB1与MN相交于K,连KQ,∵MN∥PB,N为BB1的中点,∴K为PB1的中点.

又∵Q是C1B1的中点    ∴PC1∥KQ 而KQ平面MNQ,PC1平面MNQ  ∴PC1∥面MNQ.

 

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