【题目】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F分别是A1C1,BC的中点.
(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C;
(2)证明:C1F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P B1C1F的体积.
【答案】(1) (2)见解析 (3)
【解析】
(1)证明 在△ABC中,∵AC=2BC=4,∠ACB=60°,由余弦定理得:
∴AB=2,∴AB2+BC2=AC2,
∴AB⊥BC,
由已知AB⊥BB1,又BB1∩BC=B,∴AB⊥面BB1C1C,
又∵AB面ABE,∴平面ABE⊥平面BB1C1C.
(2)证明 取AC的中点M,连接C1M,FM
在△ABC,FM∥AB,而FM平面ABE,AB平面ABE,
∴直线FM∥平面ABE
在矩形ACC1A1中,E,M都是中点,∴C1E綉AM,四边形AMC1B是平面四边形,∴C1M∥AE
而C1M平面ABE,AE平面ABE,∴直线C1M∥ABE
又∵C1M∩FM=M,∴平面ABE∥平面FMC1,而CF1平面FMC1,
故C1F∥平面AEB.
(3)解 取B1C1的中点H,连接EH,则EH∥A1B1,所以EH∥AB且EH=AB=,
由(1)得AB⊥面BB1C1C,∴EH⊥面BB1C1C,
∵P是BE的中点,
∴VPB1C1F=VEB1C1F=×S△B1C1F·EH=
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【题目】(2017·南充调研)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一质点从顶点A射向点E(4,3,12),遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将第i-1次到第i次反射点之间的线段记为Li(i=2,3,4),L1=AE,将线段L1,L2,L3,L4竖立放置在同一水平线上,则大致的图形是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,等腰梯形中, , 于点, ,且.沿把折起到的位置(如图),使.
(I)求证: 平面.
(II)求三棱锥的体积.
(III)线段上是否存在点,使得平面,若存在,指出点的位置并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升, 升, 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A. , , 依次成公比为2的等比数列,且
B. , , 依次成公比为2的等比数列,且
C. , , 依次成公比为的等比数列,且
D. , , 依次成公比为的等比数列,且
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【题目】小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误,则手机被锁定,5分钟后,方可重新输入.
某日,小明忘记了开机密码,但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一,于是,他
决定逐个(不重复)进行尝试.
(1)求手机被锁定的概率;
(2)设第次输入后能成功开机,求的分布列和数学期望.
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