Question

设函数f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）设b＞0，a＞1，求证：

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，因为函数在[1，+∞）上是增函数，即导函数大于等于0对x属于[1，+∞）恒成立，令导函数大于等于0列出不等式，解出a大于等于x的倒数，求出x倒数的最大值即可得到实数a的范围；
（2）设x等于

a+b

b

，由b大于0，a大于1，得出

a+b

b

大于1，根据函数在[1，+∞）上是增函数，得到f（

a+b

b

）大于f（1），化简可得ln

a+b

b

＞

1

a+b

；设G（x）=x-lnx，且x大于1，求出G（x）的导函数，根据x大于1得到导函数大于0，所以G（x）为增函数，由x大于1，得到G（x）大于G（1）即x大于lnx，即可得到

a+b

b

＞ln

a+b

b

，综上，得证．

解答：解：（1）f′(x)=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立，
又

1

x

≤1，
∴a≥1为所求；
（2）取x=

a+b

b

，
∵a＞1，b＞0，∴

a+b

b

＞1，
一方面，由（1）知f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函数，
∴f(

a+b

b

)＞f(1)=0
∴

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0
即ln

a+b

b

＞

1

a+b

；
另一方面，设函数G（x）=x-lnx（x＞1），
G′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0(∵x＞1)，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函数且在x=x₀处连续，又G（1）=1＞0，
∴当x＞1时，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即

a+b

b

＞ln

a+b

b

，
综上所述，

1

a+b

＜ln

a+b

b

＜

a+b

b

．

点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用函数的单调性解决实际问题，是一道综合题．