Question

（2008•如东县三模）设函数f(x)=lg(

2

x+1

-1)的定义域为集合A，函数g(x)=

1-|x+a|

的定义域为集合B．
（1）判定函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
（2）问：a≥2是A∩B=∅的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求出集合A的定义域，利用函数的单调性判断f（x）的单调性即可．
（2）求出集合B，利用A∩B=∅，判断a≥2与a＜2时A与B的关系，利用充要条件判断方法判断即可．

解答：解：（1）A={x|

2

x+1

-1＞0⇒

2

x+1

-1＞0?

x-1

x+1

＜0
?（x+1）（x-1）＜0，∴-1＜x＜1
∴A=（-1，1），定义域关于原点对称
f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg(

1-x

1+x

)-1=-lg

1-x

1+x

=-f（x），∴f（x）是奇函数．
（2）B={x|1-|x+a|≥0}
|x+a|≤1?-1≤x+a≤1?-1-a≤x≤1-a，
B=[-1-a，1-a]
当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2．（注：反例不唯一）
所以，a≥2是A∩B=∅，的充分非必要条件．

点评：本题考查函数的单调性的应用，集合的交集与充要条件的关系，考查计算能力．