【题目】已知函数,
.
(1)若,求函数
的单调递减区间;
(2)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值;
(3)若,正实数
,
满足
,证明:
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由求出
的值,再利用导数求出函数
的单调递减区间;(2)分离出变量
,令
,只要
,利用导数求出令
的最大值即可;(3)由
,即
,令
,则由
,利用导数法求得
,从而可得所以
,解得即可.
试题解析:
(1)因为,所以
,
此时,
,
,
由,得
,又
,所以
,
所以的单调减区间为
.
(2)由恒成立,得
在
上恒成立,
问题等价于在
上恒成立,
令,只要
,
因为,令
,得
.
设,因为
,所以
在
上单调递减,
不妨设的根为
,
当时,
;当
时,
,
所以在
上是增函数,在
上是减函数,
所以
,
因为,
,
所以,此时
,即
,
所以,即整数
的最小值为2.
(3)当时,
,
由,即
,
从而,
令,则由
,得
,
可知, 在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,
所以,因此
成立.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知双曲线的渐近线方程是
,右焦点
,则双曲线
的方程为_________,又若点
,
是双曲线
的左支上一点,则
周长的最小值为__________.
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【题目】[2018·赣中联考]李冶(1192-1279),真实栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)( )
A. 10步,50步 B. 20步,60步 C. 30步,70步 D. 40步,80步
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【题目】某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为
米,圆心角为
(弧度).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求
关于
的函数关系式,并求出
为何值时,
取得最大值?
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【题目】已知函数,
(
为常数).
(1)若函数与函数
在
处有相同的切线,求实数
的值;
(2)若,且
,证明:
;
(3)若对任意,不等式恒
成立,求实数
的取值范围.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥P-ABC为鳖臑,PA⊥面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上,则球0的表面积为( )
A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π
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