Question

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点．
（1）若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求异面直线EF与AD′所成的角．

Answer 1

解：（1）∵△ABB'中，E、M分别是AB'、BB'的中点，
∴EM∥AB
∵EM?平面ABCD且AB⊆平面ABCD
∴EM∥平面ABCD，同理可得FM∥平面ABCD，
∵EM、FM是平面EMF内的相交直线
∴平面EMF∥平面ABCD．（6分）
（2）连接AC、CD'、B'C
∵△B'AC中，EF是中位线
∴EF∥AC，可得∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角
∵正方体ABCD-A'B'C'D'中，AD'、AC、CD'都是面上的对角线
∴设正方体棱长为a，则AD'=AC=CD'a
所以等边三角形ACD'中，∠D'AC=60°
∴异面直线EF与AD′所成的角60°（6分）
分析：（1）△ABB'中，利用中位线得到EM∥AB，结合线面平行的判定定理，可得EM∥平面ABCD，同理可得FM∥平面ABCD，最后根据面面平行的判定定理，可证出平面EMF∥平面ABCD；
（2）连接AC、CD'、B'C，△B'AC中，利用中位线得到EF∥AC，∠D'AC或其补角即为EF与AD'所成的角，然后在等边三角形ACD'中，可得∠D'AC=60°，即为异面直线EF与AD′所成的角．
点评：本题以正方体为载体，求证面面平行并且求异面直线所成的角，着重考查了异面直线所成角的求法和面面平行的判定定理等知识，属于基础题．