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如图所示,在直角坐标平面上的矩形OABC中,|OA|=2,,点P,Q满足,点D是C关于原点的对称点,直线DP与CQ相交于点M.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点(1,0)的直线与点M的轨迹相交于E,F两点,求△AEF的面积的最大值.

【答案】分析:(1)由向量运算得到直线DP的方程和直线CQ的方程,消去参数即可得到M的轨迹方程;
(2)欲求△AEF的面积的最大值,先将△AEF的面积表示成某个变量的函数,再利用基本不等式求函数的最大值即可.
解答:解:(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),由图可知A(2,0),
,得点P的坐标为(2λ,0);
,得点Q的坐标为
于是,当λ≠0时,直线DP的方程为,①
直线CQ的方程为.②
①×②,得,即
当λ=0时,点M即为点C,而点C的坐标也满足上式.
故点M的轨迹方程为

(Ⅱ)设过点(1,0)的直线EF的方程为x=my+1,且设E(x1,y1),F(x2,y2).

得(3m2+4)y2+6my-9=0.③
由于上述方程的判别式△=(6m)2+36(3m2+4)>0,所以y1,y2是方程③的两根,
根据求根公式,可得
又A(2,0),所以△AEF的面积
(t≥1),则m2=t2-1.
于是,t≥1.
,t≥1,则
因为当t≥1时,f'(t)>0,所以在[1,+∞)上单调递增.
故当t=1时,f(t)取得最小值
此时取得最大值
综上所述,当m=0时,即直线EF垂直于x轴时,△AEF的面积取得最大值
点评:本小题主要考查向量的运算、直线方程、求曲线的方程以及函数最值等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.
练习册系列答案
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精英家教网如图所示,在直角坐标平面上的矩形OABC中,|OA|=2,| OC |=
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,点P,Q满足
OP
=
λOA
AQ
=( 1-λ )
AB
  ( λ∈R )
,点D是C关于原点的对称点,直线DP与CQ相交于点M.
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
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(Ⅱ)若过点(1,0)的直线与点M的轨迹相交于E,F两点,求△AEF的面积的最大值.

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