Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC1=3，D为AB的中点

（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值；
（3）求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB=5，BC=4，AC=CC1=3，

∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，

又CC1⊥平面ABC，∴CA，CB，CC1两两垂直，

以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，3），B1（0，4，3），

=（﹣3，0，0）， =（0，﹣4，3），

∵ =0，∴ ⊥ ，

∴AC⊥BC1．

（2）解：∵ =（﹣3，0，3）， =（0，4，3），| |=3 ，| |=5，

cos＜ ＞= = = ，

∴异面直线AC1与CB1所成角的余弦值为 ．

（3）解：∵D是AB的中点，∴D（ ）， =（ ）， =（0，4，3），

∵AC⊥BC1，AC⊥CC1，BC1∩CC1=C1，

∴AC⊥平面BCB1，

∴平面BCB1的一个法向量 =（3，0，0），

设平面DCB1的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取y=1，得 =（﹣ ，1，﹣ ），

cos＜ ＞= = =﹣ ，

由图知二面角D﹣CB1﹣B的平面角是锐角，

∴二面角D﹣CB1﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）以C为原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BC1 ． （2）求出 =（﹣3，0，3）， =（0，4，3），利用得量法能地求出异面直线AC1与CB1所成角的余弦值．（3）求出平面BCB1的一个法向量和平面DCB1的一个法向量，利用向量法能求出二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．
【考点精析】关于本题考查的异面直线及其所成的角和空间中直线与直线之间的位置关系，需要了解异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能得出正确答案．