Question

（本小题满分14分）

已知在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB₁＝8．E，F分别是线段A₁A，BC上的点．

（1）若A₁E＝5，BF＝10，求证：BE∥平面A₁FD．   

（2）若BD⊥A₁F，求三棱锥A₁－AB₁F的体积．

 

Answer 1

（1）过E作EG∥AD交A₁D于G，连结GF．

     ∵＝，所以＝，∴EG＝10＝BF．

     ∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．

     ∴四边形BFGE是平行四边形．

     ∴BE∥FG．…………………………………4分

     又FGÌ平面A₁FD，BEË平面A₁FD，

     ∴BE∥平面A₁FD．                      …………………………………6分

（2）∵在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，BDÌ面ABCD，∴A₁A⊥BD．                         

      由已知，BD⊥A₁F，AA₁∩A₁F＝A₁，

      ∴BD⊥面A₁AF．                         

      ∴BD⊥AF．                             ………………………………8分

  ∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，

      ∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2．

        在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝．    

      ∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，∴＝，BF＝4．      ………………10分

      ∵在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，

∴面AA₁B₁B⊥面ABCD，又面ABCD∩面AA₁B₁B＝AB，∠ABF＝90°，

∴FB⊥面AA₁B₁B，即BF为三棱锥F－A₁B₁A的高．  ………………12分

      ∵∠AA₁B₁＝90°，AA₁＝BB₁＝8，A₁B₁＝AB＝8，∴S＝32．

      ∴V＝V＝×S×BF＝．    ………………14分