Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，S_n=n²+2n+λ则{a_n}为等差数列是λ=O的

1. A.
   充分非必要条件
2. B.
   充要条件
3. C.
   必要非充分条件
4. D.
   非充分非必要条件

Answer 1

B
分析：先根据a_n=S_n-S_n-1求得n≥2时，数列的通项公式，a₁=S₁，由{a_n}为等差数列，可推出λ=O，反之，由λ=O，可推出{a_n}为等差数列，由充要条件的定义可得答案．
解答：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，∴a₂=5，a₃=7，
而a₁=S₁=1+2+a=3+λ，∵{a_n}为等差数列，∴d=7-5=2
∴a₁=a₂-d=3=3+λ，∴λ=0，
即由{a_n}为等差数列，可推出λ=O；
由λ=O，可知S_n=n²+2n，同样有，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
a₁=S₁=3，代入a_n=2n+1也适合，故a_n=2n+1，（n∈N，n≥1），可得
a_n+1-a_n=2（n+1）+1-2n-1=2，为常数，即数列{a_n}为等差数列，
即由λ=O，可推出{a_n}为等差数列．
故{a_n}为等差数列是λ=O的充要条件．
故选B
点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是利用了a_n=S_n-S_n-1．考查了学生对等差数列通项公式的理解，即充要条件的证明，属基础题．