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(07年重庆卷理)(13分)

如图,在直三棱柱ABC―中, AB = 1,;点D、E分别在上,且,四棱锥与直三棱柱的体积之比为3:5。

(1)求异面直线DE与的距离;(8分)

(2)若BC =,求二面角的平面角的正切值。(5分)

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析解法一:(Ⅰ)因,且,故

从而,又,故是异面直线的公垂线.

的长度为,则四棱椎的体积

而直三棱柱的体积

由已知条件,故,解之得

从而

在直角三角形中,

又因

(Ⅱ)如答(19)图1,过,垂足为,连接,因,故

由三垂线定理知,故为所求二面角的平面角.

在直角中,

又因

,所以

解法二:

(Ⅰ)如答(19)图2,以点为坐标原点建立空间直角坐标系

,则

,则

又设,则

从而,即

,所以是异面直线的公垂线.

下面求点的坐标.

,则

因四棱锥的体积

而直三棱柱的体积

由已知条件,故,解得,即

从而

接下来再求点的坐标.

,有,即      (1)

又由.     (2)

联立(1),(2),解得,即,得

(Ⅱ)由已知,则,从而,过

垂足为,连接

,则,因为,故

……………………………………①

,即

……………………………………②

联立①②解得,即

,故

因此为所求二面角的平面角.又,从而

为直角三角形,所以

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