【题目】已知数列{an}满足an=3n﹣2,f(n)= + +…+ ,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1),n∈N* .
(1)求证:g(2)> ;
(2)求证:当n≥3时,g(n)> .
【答案】
(1)
证明:g(2)=f(4)﹣f(1)
=1+ + + ﹣1= + + = > ;
(2)当n≥3时,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1)
=1+ +…+ ﹣(1+ +…+ )
= + +…+ ,
运用数学归纳法证明.
当n=3时,g(3)= + + +…+ > 成立
(2)
证明:假设n=k时,g(k)> ,即有 + +…+ > ,
则n=k+1时,g(k+1)= +…+
= + +…+ + +…+ ﹣
=g(k)+ +…+ ﹣ ,
可得 +…+ ﹣ >0,又g(k)> ,
即有n=k+1时,g(k+1)> .
故当n≥3时,g(n)> .
【解析】(1)g(2)=f(4)﹣f(1)=1+ + + ﹣1,即可得证;(2)求出g(n),运用数学归纳法及不等式的性质,即可得证.
【考点精析】通过灵活运用函数的值和不等式的证明,掌握函数值的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③反函数法;④换元法;⑤不等式法;⑥函数的单调性法;不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等即可以解答此题.
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【题目】已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为_____.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面PDC,E为棱PD的中点.
(1)求证:PB∥平面EAC;
(2)求证:平面PAD⊥平面ABCD.
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【题目】下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;③线性回归方程=x+必过(,);④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;⑤在一个2×2列联表中,由计算得K2=13.079,则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________.
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【题目】如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则等于 ( )
A. B. C. D.
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【题目】已知数列{cn}的前n项和为Tn , 若数列{cn}满足各项均为正项,并且以(cn , Tn)(n∈N*)为坐标的点都在曲线 上运动,则称数列{cn}为“抛物数列”.已知数列{bn}为“抛物数列”,则( )
A.{bn}一定为等比数列
B.{bn}一定为等差数列
C.{bn}只从第二项起为等比数列
D.{bn}只从第二项起为等差数列
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【题目】某地区2008年至2014年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y关于的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2008年至2014年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:,.
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【题目】某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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