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精英家教网一条长为2cm的线段AB夹在互相垂直的两个平面α、β之间,AB与α所成角为45°,与β所成角为30°,且α∩β=l,AC⊥l,BD⊥l,C、D是垂足.
求(1)CD的长;
(2)AB与CD所成的角.
分析:(1)连BC、AD,可证AC⊥β,BD⊥α,在Rt△BCD中,可求出CD;
(2)作BE∥l,根据异面直线所成角的定义可证∠ABE就是AB与CD所成的角,连AE,Rt△ABE中求得∠ABE.
解答:解:(1)连BC、AD,可证AC⊥β,BD⊥α,
∴ABC=30°,
∠BAD=45°,Rt△ACB中,BC=AB•cos30°=
3

在Rt△ADB中,BD=AB•sin45°=
2

在Rt△BCD中,可求出CD=1cm;
(2)作BE∥l,CE∥BD,BE∩CE=E,
则∠ABE就是AB与CD所成的角,连AE,由三垂线定理可证BE⊥AE,
先求出AE=
3
,再在Rt△ABE中,
求得∠ABE=60°.
点评:本题主要考查了平面与平面之间的位置关系,以及异面直线所成角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:高考数学一轮复习必备(第72课时):第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线(解析版) 题型:解答题

一条长为2cm的线段AB夹在互相垂直的两个平面α、β之间,AB与α所成角为45°,与β所成角为30°,且α∩β=l,AC⊥l,BD⊥l,C、D是垂足.
求(1)CD的长;
(2)AB与CD所成的角.

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