(I)求椭圆C2的标准方程;
(II)设AB是过椭圆C,中心的任意弦,l是线段AB的垂直平分线,M是l上异于椭圆中心的点.
(1) 若|MO|=|OA|(O为坐标原点),当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;
(2)若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值。
解:(I)由题意得由a>b>0,
解得 a2=5, b2=4.
因此所求椭圆的标准方程为 =1.
(II)(1)假设AB所在的直线斜率存在且不为零,设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),
A(xA,yA).
解方程组 得
所以 |OA|2=
设M(x,y),由题意知|MO|=λ|OA|(λ
所以|MO|2=λ2|OA|2,即,
因为l是AB的垂直平分线,
所以 直线l的方程为y=-,
即k=-,
因此
又x2+y2,
故 .
又 当k=0或不存时,上式仍然成立.
综上所述,M的轨迹方程为(λ0),
(2) 当k存在且k0时,由(1)得
,
由解得
所以|OA|2=,
解法一:由于
=
=
=
=()2,
当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立,即k=1时等号成立,此时△AMB面积的最小值是S△AMB=.当
当k不存在时,
综上所述,的面积的最小值为
解法二:因为
又
当且仅当时等号成立,即时等号成立,此时面积的最小值是
当k=0,
当k不存在时,
综上所述,的面积的最小值为
科目:高中数学 来源: 题型:
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科目:高中数学 来源:山东 题型:解答题
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省德州市高三(上)校际联考数学试卷(理科)(解析版) 题型:填空题
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