某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
(Ⅰ)海里/小时(Ⅱ)方案如下:航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
解析试题分析:(I)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则
=
=,
故当时,,此时,
即小艇以海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小。
(II)设小艇与轮船在B出相遇,则
,
故,
,,
即,解得,
又时,,
故时,t取最小值,且最小值等于,
此时,在中,有,故可设计方案如下:
航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
考点:本小题主要考查解三角形在实际问题中的应用.
点评:正弦定理和余弦定理在解三角形中应用十分广泛,要准确灵活应用,应用正弦定理时要注意解的个数问题.
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