Question

已知函数f（x）=

x

x2+1

，x∈[1，+∞）
（1）判断函数f（x）的单调性并证明；
（2）解不等式f（x²-x）-f（2x+1）＜0．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）先判断函数f（x）是定义域[1，+∞）上的减函数，再用定义来证明即可；
（2）根据函数f（x）的单调性，把不等式f（x²-x）-f（2x+1）＜0化为等价的不等式组，求出解集即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
当x∈[1，+∞）时，x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取“=”；
∴

1

x+ 1 x

≤

1

2

，当且仅当x=1时f（x）取得最小值

1

2

；
∴f（x）在定义域[1，+∞）上是单调减函数；
证明如下；任取x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在定义域[1，+∞）上是减函数；
（2）由（1）知，函数f（x）在定义域[1，+∞）上是减函数，
∴不等式f（x²-x）-f（2x+1）＜0可化为
f（x²-x）＜f（2x+1），
即

x2-x＞2x+1 x2-x≥1 2x+1≥1

；
解得

x＜ 3- 13 2 或x＞ 3+ 13 2 x≤ 1- 5 2 或x≥ 1+ 5 2 x≥0

，
即x＞

3+ 13

2

；
∴不等式的解集为{x|x＞

3+ 13

2

}．

点评：本题考查了函数的单调性的判断与证明问题，也考查了利用函数的单调性解不等式的应用问题，是中档题．