Question

15．已知数列{a_n}和{b_n}中，数列{a_n}的前n项和为s_n，若点（n，s_n）在函数y=-x²+14x的图象上，点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上．设数列{c_n}={a_nb_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）求数列{c_n}的最大值．

Answer 1

分析 （I）由点（n，s_n）在函数y=-x²+14x的图象上，可得S_n=-n²+14n，利用递推式可得a_n．
（II）点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上．可得b_n=2ⁿ，c_n=a_n•b_n=（-2n+15）•2ⁿ．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
（III）作差c_n+1-c_n=（11-2n）•2ⁿ，令c_n+1-c_n＞0，解得$n＜\frac{11}{2}$．可得{c_n}单调性．

解答 解：（I）∵点（n，s_n）在函数y=-x²+14x的图象上，∴S_n=-n²+14n，
∴当n=1时，a₁=S₁=13；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+14n-[-（n-1）²+14（n-1）]
=-2n+15．
当n=1时上式成立，
∴a_n=-2n+15．
（II）∵点（n，b_n）在函数y=2^x的图象上．
∴b_n=2ⁿ，
∴c_n=a_n•b_n=（-2n+15）•2ⁿ．
∴T_n=13×2¹+11×2²+…+（-2n+15）•2ⁿ，
2T_n=13×2²+11×2³+…+（-2n+13）×2ⁿ+（-2n+15）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=26-2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（2n-15）×2ⁿ⁺¹=26-$\frac{{2}^{3}（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$+（2n-15）×2ⁿ⁺¹=（2n-17）×2ⁿ⁺¹+34，
∴T_n=（17-2n）×2ⁿ⁺¹-34．
（III）∵c_n=（-2n+15）•2ⁿ，c_n+1=（-2n+13）•2ⁿ⁺¹，
∴c_n+1-c_n=（11-2n）•2ⁿ，
令c_n+1-c_n＞0，解得$n＜\frac{11}{2}$．
∴当n≤6时，{c_n}单调递增；当n≥6时，{c_n}单调递减．
∴当n=6时，c_n取得最大值，c₆=（-2×6+15）×2⁶=192．
故数列{c_n}的最大值为192．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、递推式的应用、数列的单调性、函数图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．