Question

已知x²-20x+64≤0的解集为A，当x∈A时f(x)=log2

x

8

•lo

g

2

x

4

的值域为B．
（1）求集合B；
（2）当x∈B时不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先化简集合A，再利用对数的运算法则，化简函数，利用换元法，转化为二次函数的最值，求出集合B；
（2）分离参数，将当x∈B时不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，转化为a≥g（x）_max即可．

解答：解：（1）A={x|4≤x≤16}
f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=（log₂x）²-5log₂x+6
令t=log₂x，则t∈[2，4]，y=t2-5t+6=(t-

5

2

)2-

1

4

∵t∈[2，4]，
∴t=

5

2

时，y取得最小值-

1

4

，t=4时，y取得最大值2
∴B=[-

1

4

，2]
（2）分离参数可得：a≥-(

1

4

)x-(

1

2

)x
设g(x)=-(

1

4

)x-(

1

2

)x
当x∈B时不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，可转化为a≥g（x）_max
∵g(x)=-(

1

4

)x-(

1

2

)x在[-

1

4

，2]上递增
∴g(x)max=g(2)=-

5

16

∴a≥-

5

16

点评：本题以集合为载体，考查函数的值域，考查恒成立问题，解题的关键是转化为二次函数的最值，利用分离参数法解决恒成立问题．