Question

设f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1，若?x∈R，不等式f（x-1）+f（2x）≥1-2m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=5，不等式f（x）≤3等价于|x-5|≤3，确定绝对值，可解不等式；
（Ⅱ）?x∈R，不等式f（x-1）+f（2x）≥1-2m成立，等价于左边的最小值≥1-2m，由此可求m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=5，不等式f（x）≤3等价于|x-5|≤3，
即-3≤x-5≤3，∴2≤x≤8，
∴不等式的解集为{x|2≤x≤8}；
（Ⅱ）当a=1，f（x）=|x-1|，
令g（x）=f（x-1）+f（2x）=|x-2|+|2x-1|=

-3x+3，x≤ 1 2 x+1， 1 2 ＜x＜2 3x-3，x≥2

，
∴x=

1

2

时，g（x）取得最小值

3

2

．
∵?x∈R，不等式f（x-1）+f（2x）≥1-2m成立，
∴

3

2

≥1-2m成立，
∴m≥-

1

4

，
∴m的取值范围为[-

1

4

，+∞）．

点评：本题考查解不等式，考查函数的最值，考查学生的计算能力，正确求函数的最值是关键．