Question

【题目】如图所示，连结棱长为2cm的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点A处向该容器内注水，注满为止．已知顶点B到水面的高度h以每秒1cm匀速上升，记该容器内水的体积V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），则函数V（t）的导函数y=V′（t）的图象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为a= = ，高为2，
设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b， ，则b= t，则水面的面积为b2=2t2 ， 该容器内水的体积V（t）= ×2t2×t= t3 ，
当t＞1时，此时水面的边长为c， ，则c= （2﹣t），则水面的面积为c2=2（2﹣t）2 ，
该容器内水的体积V（t）= ×（ ）2×2﹣ ×2×（2﹣t）2×（2﹣t）= ﹣ ×（2﹣t）3 ，
∴y=V′（t）=2t2 ， （t≤1），y=V′（t）=2（2﹣t）2 ， （1＜t≤2），
方法二，由题意得：V（cm3）与时间T（S）的函数关系是V（t），y=tv（t）是关于t的3次函数，
则y=v′（t）是关于t的2次函数，
故选：D．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．