Question

已知各项都是正数的等比数列{x_n}，满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）若

1

a1

=1，

1

a8

=15，当m＞1时，不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞

12

35

（log_（m+1）x-log_mx+1）对n≥2的正整数恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由于xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*），各项都是正数的等比数列{x_n}，两边取对数可得，a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2，再利用{a_n}是等比数列即可证明数列{

1

an

}是等差数列．
（II）由（Ⅰ）设{

1

an

}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得d，进而得到a_n．令f（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，则f（n+1）=a_n+2+a_n+3+…+a_2n+a_2n+a_2n+1+a_2n+2，由f（n+1）-f（n）＞0．可得函数f（n）单调递增，当n≥2时，f（n）_min=f（2），再利用对数的运算性质即可得出．

解答：（I）证明：∵满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*），
各项都是正数的等比数列{x_n}，
∴a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2，
设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，
∴

1

an

=

lnxn

p

，

1

an+1

=

lnxn+1

p

，

1

an+2

=

lnxn+2

p

，
∴

1

an

+

1

an+2

=

ln(xn•xn+2)

p

，
又∵{a_n}是等比数列，∴xn•xn+2=

x

2 n+1

．
∴

1

an

+

1

an+2

=

ln(xn•xn+2)

p

=

2lnxn+1

p

=

2

an+1

．
∴数列{

1

an

}是等差数列．
（II）解：由（Ⅰ）设{

1

an

}的公差为d，知

1

a8

=

1

a1

+(8-1)d，
∴15=1+7d，解得d=2，
∴an=

1

2n-1

，
令f（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，
则f（n+1）=a_n+2+a_n+3+…+a_2n+a_2n+a_2n+1+a_2n+2，
∴f（n+1）-f（n）=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n-1

＞0．
∴函数f（n）单调递增，当n≥2时，f（n）_min=f（2）=a₃+a₄=

1

5

+

1

7

．
∴

12

35

＞

12

35

(lo

g

x m+1

-lo

g

x+1 m

)，即lo

g

x m+1

＜lo

g

(x+1) m

，

lgx

lg(m+1)

＜

lgx

lgm

，lgx[lg（m+1）-lgm]＞0．
而m＞1，∴x的取值范围是（1，+∞）．

点评：数列掌握等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、数列的单调性等是解题的关键．