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已知正方形的外接圆方程为x2+y2-24x+a=0,A、B、C、D按逆时针方向排列,正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1).
(1)求正方形对角线AC与BD所在直线的方程;
(2)若顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B,求抛物线E的方程.
(1)由(x-12)2+y2=144-a(a<144),
可知圆心M的坐标为(12,0),
依题意,∠ABM=∠BAM=
π
4
,kAB=
1
3
,设MA、MB的斜率k满足|
k-
1
3
1+
1
3
k
|=1

解得kAC=2,KBD=-
1
2

∴所求BD方程为x+2y-12=0,AC方程为2x-y-24=0.
(2)设MB、MA的倾斜角分别为θ1,θ2,则tanθ1=2,tanθ2=-
1
2

设圆半径为r,则A(12+
5
5
r,
2
5
5
r
),B(12-
2
5
5
r
5
5
r
),
再设抛物线方程为y2=2px (p>0),由于A,B两点在抛物线上,
(
5
5
r)
2
=2P(12-
2
5
5
r)
(
2
5
5
r)
2
=2p(12+
5
5
r)
∴r=4
5
,p=2.
得抛物线方程为y2=4x.
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请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲

如图,⊙O是的外接圆,D是的中点,BD交AC于E。

   (I)求证:CD2=DE·DB。

   (II)若O到AC的距离为1,求⊙O的半径。

(本小题满分10分)

选修4—4:作标系与参数方程

已知直线的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,M点坐标为(0,2),直线与曲线C交于A,B两点。

   (I)写出直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

   (II)线段MA,MB长度分别记|MA|,|MB|,求|MA|·|MB|的值。

(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲

设函数

   (I)画出函数的图象;

   (II)若对任意恒成立,求a-b的最大值。

 

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科目:高中数学 来源:2008-2009学年江苏省南通市启东中学高一(下)期中数学试卷(实验班)(解析版) 题型:解答题

已知正方形的外接圆方程为x2+y2-24x+a=0,A、B、C、D按逆时针方向排列,正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1).
(1)求正方形对角线AC与BD所在直线的方程;
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