Question

已知函数f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…（2分）
∵a＞0，
∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数 　　　　 …（4分）
（II）由（I）可知，f′（x）=．
（1）若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=，
∴a=-（舍去）　…（5分）
（2）若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-（舍去）…（6分）
（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，当1＜x＜-a时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=
∴a=-．…（8分）
综上所述，a=-．
（III）∵f（x）＜x²
∴lnx-
又x＞0，∴a＞xlnx-x³…（9分）
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h'（x）=∵x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是减函数，…（10分）
∴h（x）＜h（1）=-2＜0
即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是减函数，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数
∴g（x）＜g（1）=-1
∴当a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（12分）
∴a≥-1
分析：（I）先确定函数f（x）的定义域，再求导函数，从而可判定f（x）在定义域内的单调性；
（II）由（I）可知，f′（x）=．再分类讨论：a≥-1，f（x）在[1，e]上为增函数；a≤-e，f（x）在[1，e]上为减函数；e＜a＜-1，f（x）在（1，-a）上为减函数，f（x）在（-a，e）上为增函数，利用f（x）在[1，e]上的最小值为，可求a的值；
（III）先将不等式整理，再分离参数，构建新函数，利用单调性求出函数值的范围，即可求出a的取值范围．
点评：本题重点考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是运用导数，确定函数的单调性，运用分离参数法求解恒成立问题．