Question

10．如图，在△ABC中，AB+AC=2BC，G为重心，I为内心．证明：GI∥BC．

Answer 1

分析 根据已知和三角形内角平分线定理，可得$\frac{AI}{IE}$=2，结合重心的性质，可得$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$，进而得到答案．

解答 证明：∵I为△ABC内心．
∴AE为∠BAC的角平分线，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$，

∴$\frac{AB+AC}{AC}$=$\frac{BE+CE}{CE}$，
∴$\frac{2BC}{AC}$=$\frac{BC}{CE}$
∴AC=2CE，
又∵CI为∠C的平分线，
故$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$=2，
又∵G为△ABC重心．
∴$\frac{AG}{GD}$=2，
即$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$，
故GI∥BC

点评 本题考查的知识点是三角形的四心，三角形内角平分线定理，平行线分线段成比例定理，难度中档．