Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：（1）f（x）=2a^xg（x），（a＞0，a≠1）；（2）g（x）≠0；
（3）f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）且

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=5，则a=（　　）

• A、

  1

  2

• B、2
• C、

  5

  4

• D、2或

  1

  2

Answer 1

分析：先根据题意设h(x)=

f(x)

g(x)

=2ax，再求出其导数结合f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）判断出函数是减函数，然后根据

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=5求出a的数值即可得到答案．

解答：解：根据题意可得：g（x）≠0，所以设h(x)=

f(x)

g(x)

=2ax，
所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

，
因为f（x）g′（x）＜f′（x）g（x），
所以h′（x）＞0，
所以函数h（x）是定义在R上的增函数．
又因为

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=5，即2a²-5a+2=0，
所以a=2或a=

1

2

，
所以a=2．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是能够熟练的抽象出新的函数，并且结合求导法则求出函数的导数判断其单调性，进而结合有关知识求出参数的数值．