Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），焦点F₂到渐近线的距离为

3

，两条准线之间的距离为1．
（1）求此双曲线的方程；
（2）若直线y=x+2与双曲线分别相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）过双曲线焦点F₂且与（2）中AB平行的直线与双曲线分别相交于C、D两点，若

AB

+

AD

=

AC

，求

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞的值．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的焦点在x轴上，由题意，列出关于a，b，c的方程，解得a，b，c．从而写出双曲线的方程即可；
（2）应用弦长公式，欲求|AB|，只需求x₁+x₂，x₁x₂的值即可，联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理可得．
（3）由双曲线和平行四边形ABCD的对称性，可知A与C、B与D关于原点对称．而

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=

1

2

|AB|×d．结合点到直线的距离公式即可求解．

解答：解：（1）∵焦点F₂（c，0）到渐近线bx±ay=0的距离为

3

，两条准线之间的距离为1，
∴

d= bc a2+b2 =b= 3 2a2 c =1

⇒

a=1 b= 3 c=2.

∴双曲线的方程为x²-

y2

3

=1．
（2）由题意设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
由

y=x+2 x2- y2 3 =1

⇒2x2-4x-7=0
∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+1

×

72

2

=6．
（3）由双曲线和平行四边形ABCD的对称性，可知A与C、B与D关于原点对称．
而

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=

1

2

(|

OA

|•|

OD

|cos＜

OA

，

OD

＞)tan＜

OA

，

OD

＞
=

1

2

|

OA

|•|

OD

|sin＜

OA

，

OD

＞=S△AOD=S△AOB=

1

2

|AB|×d．
∵点O到直线y=x+2的距离d=

2

2

=

2

，
∴S_△AOB=

1

2

|AB|×d=3

2

．
∴

1

2

(

OA

•

OD

)tan＜

OA

，

OD

＞=3

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．