Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$（b＞0）
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）如果对任意的x＞0，都有f（x）≥f（1）=2成立，求|[f（x）]³|-|f（x³）|，（x≠0）的最小值；
（3）若a＞0，x₁+x₂＞0，x₂+x₃＞0，x₃+x₁＞0，|x_i|$＞\frac{1}{\sqrt{a}}$（i=1，2，3），证明：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可
（2）先求出a，b的值，求出函数的解析式，从而求出代数式的最小值即可；
（3）通过讨论①x₁，x₂，x₃都为正数时，②当x₁，x₂，x₃为有一个为负数时的情况，从而证出结论．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-1}{{bx}^{2}}$，首先x≠0，
∴①当a≤0时，令f′（x）＜0，得：ax²-1＜0，
∵a≤0，
∴x的单调递减区间为（-∞，0）∪（0，+∞）；
②当a＞0时，令f′（x）＜0，
ax²-1＜0，ax²＜1，x²＜$\frac{1}{a}$，
∵a＞0，
∴x的单调递减区间为（-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0）∪（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
∴当a≤0，x的单调递减区间为（-∞，0）∪（0，+∞）；
a＞0，x的单调递减区间为（-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，0）∪（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
（2）∵对?x＞0，都有f（x）＞f（1）=2，
∴根据上问分析a不可能≤0，
∴a＞0，∴$\frac{1}{\sqrt{a}}$=1，∴a=1，
∵f（1）=$\frac{a+1}{b}$=2，∴b=1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
|[f（x）]³|-|f（x³）|=3x+$\frac{3}{x}$≥2×3=6；
（3）由条件知道x₁，x₂，x₃最多有一个负数，
①当x₁，x₂，x₃都为正数时，由第一问可知：
f（x_i）＞f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=$\frac{2\sqrt{a}}{b}$，
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）≥$\frac{6\sqrt{a}}{b}$＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$，
②当x₁，x₂，x₃为有一个为负数时，不妨设x₃＜0，
∵x₂+x₃＞0，|x₃|＜$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴x₂＞-x₃＞$\frac{1}{\sqrt{a}}$，
∴f（x₂）＞f（-x₃），
∵f（x）为奇函数，
∴f（x₂）+f（x₃）＞0，
∵f（x₁）＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$，
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）＞$\frac{2\sqrt{a}}{b}$．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，考查不等式的证明，是一道难题．