Question

2010年上海世博会中国馆的建筑外观以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为主题，代表中国文化的精神与气质．如果将中国馆的下方架空层看成一个长方体，上方看成一个四棱台，则其直观图、主视图和侧视图近似如下图（精确到10m）．（台体的体积公式：）
（1）画出几何体的俯视图；
（2）求证：EA'⊥BD
（3）计算该几何体的体积．

Answer 1

解：（1）俯视图如图所示：
（2）证明，由三视图可以看出上部为倒立的正四棱台
由三视图可得，B'D'⊥面A'C'GE
所以B'D'⊥EA'
而BD∥B'D'
所以BD⊥EA'
（3）下部的体积为：V_下=70²×30=147000
上部分的上底面积为：S=140²=19600
所以上部分的体积为：
所以总体积为，V=147000+686000=833000（m³）
分析：（1）根据已知中的直观图和主（侧）视图，可以可以判断该几何体的俯视图是一个边长140米的大正方形（能看到故边为实线），和一个边长为70米的小正方形（不能看到故边为虚线）组成，画出上部棱台的侧棱（不能看到故边为虚线）后，可得几何体的俯视图；
（2）由三视图可以看出上部为倒立的正四棱台，由主（侧）视图，可得B'D'⊥面A'C'GE，进而由线面垂直的性质可得B'D'⊥EA'，由BD∥B'D'可得EA'⊥BD
（3）由棱台的上下底面分别是边长140米的大正方形和边长为70米的小正方形，高为60米，棱柱的底面为边长为70米的小正方形，高为30米，分别代入棱台体积公式和棱柱体积公式，进而得到几何体的体积．
点评：本题以中国馆的抽象图为载体考查了空间中直线与直线间的位置关系，由三视图求体积等知识点，其中棱台的体积公式是解答本题的难点．