Question

【题目】已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(xR)，其中a＞0．

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)若在区间上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝6x－9．（2）0＜a＜5．

【解析】试题分析：（1）利用导数求切线斜率即可；
（2）在区间上，恒成立恒成立，令，解得或，以下分两种情况，讨论，分类求出函数最大值即可.

试题解析：（1）当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f' (x)＝3x2－3x， f' (2)＝6．

所以曲线y＝f(x) 在点（2，f(2)）处的切线方程y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9．

（2）f' (x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f' (x)＝0，解得x＝0或x＝．

以下分两种情况讨论：

①若0＜a≤2，则≥，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：

x	（－，0）	0	（0，）
f' (x)	＋	0	－
f(x)	递增	极大值	递减

当x[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得－5＜a＜5．因此0＜a≤2．

②若a＞2，则0＜＜，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：

X	（－，0）	0	（0，）		（，）
f' (x)	＋	0	－	0	＋
f'(x)	递增	极大值	递减	极小值	递增

当x[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得＜a＜5，或a＜－．因此2＜a＜5． 综合①和②，可知a的取值范围为0＜a＜5．