Question

【题目】点P是双曲线 的右支上一点，其左，右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2 ， 则离心率的值为（　　）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，

可得|PF2|=|F1F2|=2c，

由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，

可得|OA|=a，

设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，

在直角三角形PMF2中，可得|PM|= =2b，

即有|PF1|=4b，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，

即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，

即有4b2=（a+c）2，

即4（c2﹣a2）=（a+c）2，

可得a= c，

所以e= = ．

故选：C．

由中垂线可得,根据中位线可得,,由勾股定理和双曲线定理得出a，b，c的关系，可得其离心率的值.