Question

如图，菱形ABCD中，AB=AC=1，其对角线的交点为O，现将△ADC沿对角线AC向上翻折，使得OD⊥OB．在四面体ABCD中，E在AB上移动，点F在DC上移动，且AE=CF=a（0≤a≤1）．
（1）求线段EF的最大值与最小值；
（2）当线段EF的长最小时，求异面直线AC与EF所成角θ的大小．

Answer 1

【答案】分析：解一：（1）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，确定E，F的坐标，求出EF的长，利用配方法可求线段EF的最小值；
（2）时，，，利用向量的夹角公式，可得异面直线AC与EF所成角θ的大小；
解二：（1）如图，过点F作FM∥DO，则，求出EM的最小值，即可得到线段EF的最小值；
（2）过点E作EN∥AC，连接FN，则∠FEN为异面直线AC与EF所成角，在△EFN中，，，EF=，由余弦定理可得异面直线AC与EF所成角θ的大小．
解答：解一：（1）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz，…（1分）
则∵AB=AC=1，AE=CF=a（0≤a≤1），
∴，…（2分）
∴=．     …（2分）
所以，当时，线段EF的最小值为．…（1分）
（2）时，，，…（2分）
∴．…（3分）
所以异面直线AC与EF所成角θ的大小．…（1分）
解二：（1）如图，过点F作FM∥DO，则，…（2分）
在△AEM中，由余弦定理，得．…（3分）
所以，当时，线段EF的最小值为．     …（1分）
（2）过点E作EN∥AC，连接FN，则∠FEN为异面直线AC与EF所成角，…（1分）
∵EN∥AC，AB=AC=1，AE=，∴，CN=，
∵CF=，∴FN∥DB
∵DB=，∴
在△EFN中，，，EF=，…（2分）
由余弦定理可得cos∠FEN=，…（2分）
∴异面直线AC与EF所成角θ的大小．…（1分）
点评：本题考查线段长的计算，考查线线角，考查利用空间向量解决立体几何问题，综合性强，属于中档题．