Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．设函数f（x）在区间（-

2

3

，-

1

3

）内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：求出导函数，令导函数小于等于0在区间（-

2

3

，-

1

3

）内恒成立，分离出参数a，求出函数的范围，得到a的范围．

解答：解：对函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．求导得f'（x）=3x²+2ax+1，
因为函数f（x）在区间（-

2

3

，-

1

3

）内是减函数，
所以当x∈（-

2

3

，-

1

3

）时f′（x）≤0恒成立，
结合二次函数的性质可知

f′(- 2 3 )≤0 f′(- 1 3 )≤0

，即

3×(- 2 3 )2+2a×(- 2 3 )+1≤0 3×(- 1 3 )2+2a×(- 1 3 )+1≤0

解得a≥2．
故a的取值范围为（2，+∞）

点评：解决函数在区间上的单调性已知求参数的范围的问题，递增时令导函数大于等于0恒成立；递减时，令导数小于等于0恒成立．