【题目】在三棱拄中,
侧面
,已知
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)试在棱(不包含端点
)上确定一点
的位置,使得
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求和平面
所成角正弦值的大小.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)
【解析】
试题(Ⅰ)欲证线面垂直,先考察线线垂直,易证,可试证
,由题目给条件易想到利用勾股定理逆定理;(Ⅱ)要想在棱
找到点
,使得
,易知
,那么这时就需要使
,这时就转化为一个平面几何问题:以矩形
的边
为直径作圆,与
的公共点即为所求,易知只有一点即
的中点 ,将以上分析写成综合法即可,找到这一点后,也可用别的方法证明,如勾股定理逆定理;(Ⅲ)求直线与平面所成的角,根据其定义,应作出这条直线在平面中的射影,再求这条直线与其射影的夹角(三角函数值),本题可考虑点
在平面
的射影,易知平面
与侧面
垂直,所以点
在平面
的射影必在两平面的交线上,过
做
的垂线交
于
,则
为所求的直线与平面的夹角.
试题解析:(Ⅰ)因为,
,
,所以
,
,所以
因为侧面
,
平面
,所以
,又
,
所以,平面
4分
(Ⅱ)取的中点
,连接
,
,
,等边
中,
同理,,
,所以
,可得
,所以
因为侧面
,
平面
,所以
,且
,
所以平面
,所以
; 8分
(Ⅲ)侧面
,
平面,得平面
平面
,
过做
的垂线交
于
,
平面
连接,则
为所求,
因为 ,
,所以
,
为
的中点 得
为
的中点,
, 由(2)知
,所以
13分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某次数学测验共有12道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分. 在这次数学测验中,考生甲每道选择题都按照规则作答,并能确定其中有9道题能选对;其余3道题无法确定正确选项,在这3道题中,恰有2道能排除两个错误选项,另1题只能排除一个错误选项. 若考生甲做这3道题时,每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答,且各题作答互不影响.在本次测验中,考生甲选择题所得的分数记为
(1)求的概率;
(2)求的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(
)
(1)若,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数
在[0,π]上的图象.
(2)若偶函数,求
(3)在(2)的前提下,将函数的图象向右平移
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数
的图象,求
在
的单调递减区间.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年12月16日,公安部联合阿里巴巴推出的“钱盾反诈机器人”正式上线,当普通民众接到电信网络诈骗电话,公安部钱盾反诈预警系统预警到这一信息后,钱盾反诈机器人即自动拨打潜在受害人的电话予以提醒,来电信息显示为“公安反诈专号”.某法制自媒体通过自媒体调查民众对这一信息的了解程度,从5000多参与调查者中随机抽取200个样本进行统计,得到如下数据:男性不了解这一信息的有50人,了解这一信息的有80人,女性了解这一信息的有40人.
(1)完成下列列联表,问:能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为200个参与调查者是否了解这一信息与性别有关?
了解 | 不了解 | 合计 | |
男性 | |||
女性 | |||
合计 |
(2)该自媒体对200个样本中了解这一信息的调查者按照性别分组,用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取3人给予一等奖,另外3人给予二等奖,求一等奖与二等奖获得者都有女性的概率.
附:
P(K2≥k) | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量,使用时间越长,表明质量越好,且使用时间大于或等于6千小时的为优质品.现用,
两种不同型号的汽车轮胎做试验,各随机抽取部分产品作为样本,得到试验结果的频率分布直方图如图所示,以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率.
(1)现从大量的,
两种型号的轮胎中各随机抽取2件产品,求其中至少有3件是优质品的概率;
(2)通过多年统计发现,型轮胎每件产品的利润
(单位:元)与其使用时间
(单位:千小时)的关系如下表:
使用时间 | |||
每件产品的利润 | 200 | 400 |
若从大量的型轮胎中随机抽取两件,其利润之和记为
(单位:元),求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以下说法中,正确的是_____.(填上所有正确说法的序号):
①已知角终边上一点
,则
;
②函数的最小正周期是
;
③把函数的图象向右平移
个单位长度可以得到
的图象;
④数的图象关于
对称;
⑤函数在
上有零点,则实数
的取值范图是
.
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