Question

20．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分别为BC、CC₁中点，BC₁⊥B₁D．
（1）求证：DE∥平面ABC₁；
（2）求证：平面AB₁D⊥平面ABC₁．

Answer 1

分析 （1）推导出DE∥BC₁，由此能证明DE∥平面ABC₁．
（2）推民导出CC₁⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC₁B₁，进而AD⊥BC₁，由此能证明平面AB₁D⊥平面ABC₁．

解答 证明：（1）∵D、E分别为BC、CC₁中点，∴DE∥BC₁，…（2分）
∵DE?平面ABC₁，BC₁?平面ABC₁．
∴DE∥平面ABC₁．…（6分）
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，
∴CC₁⊥AD，…（8分）
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC_1∩BC=C，CC₁，BC?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，∵BC₁?平面BCC₁B₁，∴AD⊥BC₁，…（11分）
又∵BC₁⊥B₁D∩AD=D，B₁D∩AD=D，B₁D，AD?平面AB₁D，
∴BC₁⊥平面AB₁D，
∵BC₁?平面ABC₁，∴平面AB₁D⊥平面ABC₁．…（14分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．