Question

已知椭圆C：

x2

16

+

y2

12

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，则在椭圆C上满足

PF1

•

PF2

=0的点P的个数有（　　）

A．0

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据题意求出焦点分别为F₁（-2，0）、F₂（2，0）．设椭圆上点P的坐标为（m，n），可得向量

PF1

、

PF2

用m、n表示的坐标形式，由

PF1

•

PF2

=0列式化简得n²=4-m²，根据点P（m，n）在椭圆C上得

m2

16

+

n2

12

=1，两式联解得出m²=-32，与m²≥0 矛盾，从而得到椭圆上不存在满足条件的点，由此可得本题的答案．

解答：解：设椭圆C：

x2

16

+

y2

12

=1上的点P坐标为（m，n），
∵a²=16，b²=12，∴c=

a2-b2

=2，
可得焦点分别为F₁（-2，0）、F₂（2，0），
由此可得

PF1

=（-2-m，-n），

PF2

=（2-m，-n），
设

PF1

•

PF2

=0，得（-2-m）（2-m）+n²=0，化简得n²=4-m²，…①
又∵点P（m，n）在椭圆C上，∴

m2

16

+

n2

12

=1，化简得3m²+4n²=48，
再代入①得3m²+4（4-m²）=48，解之得m²=-32，与m²≥0 矛盾．
因此不存在满足

PF1

•

PF2

=0的点P．
故选：A

点评：本题给出椭圆的焦点分别为F₁、F₂，求椭圆上满足

PF1

•

PF2

=0的点P的个数．着重考查了向量数量积及其运算性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．