Question

已知函数f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．有以下命题：
①x=±1处的切线斜率均为-1；　
②f（x）的极值点有且仅有一个；
③f（x）的最大值与最小值之和等于零．
则下列选项正确的是（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：先根据已知函数f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．欲求切线斜率，只须先利用导数求出在x=±1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而判断①，由此得到①是真命题；对函数进行求导数运算，可得在区间[-2，2]上导数有两个零点，函数也就有两个极值点，故②为假命题；根据函数为奇函数，结合奇函数的图象与性质可得f（x）的最大值与最小值之和为零，故③为真命题．由此可得正确答案．

解答：解：∵函数f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]．
对函数求导数，得f'（x）=3x²-4，
因此曲线f（x）=x³-4x，在x=±1处的切线斜率等于3（±1）²-4=-1，
故①是真命题；
对于②，因为f'（x）=3x²-4=3（x+

2

3

3

）（x-

2

3

3

），f'（x）在区间[-2，2]上有两个零点，
故f（x）的极值点有两个，得②为假命题；
对于③，因为函数f（x）=x³-4x是奇函数，所以若它在[-2，2]上的最大值为f（m）=M，则它在[-2，2]上的最小值必为f（-m）=-M，
所以f（x）的最大值与最小值之和为零，③是真命题．
则下列选项正确的是：①③．
故选B．

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数的几何意义、用导数切线的斜率和函数极值的求法等知识点，属于基础题．