Question

10．已知抛物线C：y²=6x的焦点为F，点A（0，m），m＞0，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，若|
MN|=2|FM|，则m=3．

Answer 1

分析 求出抛物线C的焦点F的坐标，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据|PN|=2|PM|，tan∠NMP=-k=2，从而得到AF的斜率k=2．然后求解m的值．

解答 解：∵抛物线C：y²=6x的焦点为F（$\frac{3}{2}$，0），点A坐标为（0，m），
∴抛物线的准线方程为l：x=-$\frac{3}{2}$，射线FA于抛物线C交于点M，与其准线交于点N，
若|MN|=2|FM|，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=-k=2，直线AF的斜率为k=-2，
∴直线AF为：y=-2（x-$\frac{3}{2}$），
x=0时，m=3．
故答案为：3．

点评 本题给出抛物线方程和射线FA，利用线段的比值．求解直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．