Question

6．如图已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点
（1）若PD=1，求异面直线PB和DE所成角的余弦值；
（2）若四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{8}{3}$，求四棱锥P-ABCD全面积．

Answer 1

分析 （1）根据一对对边平行且相等，得到一个四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行，把两条异面直线所成的角表示出来，放到△PBF中，利用余弦定理求出角的余弦值．
（2）利用四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{8}{3}$，求出PD，求出PA=PC=2$\sqrt{2}$，即可求出四棱锥P-ABCD全面积．

解答 解：（1）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形
∴DF∥BE且DF=BE
∴DFBE为平行四边形
∴DE∥BF
∴∠PBF是PB与DE的所成角
△PBF中，BF=$\sqrt{5}$，PF=$\sqrt{2}$，PB=3，
∴cos∠PBF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴异面直线PB和DE所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）设PD=a，则
∵四棱锥P-ABCD的体积为$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×2×2×a$=$\frac{8}{3}$，
∴a=2，
∵PD⊥AB，AD⊥AB，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PA，
同理BC⊥PC，
从而PA=PC=2$\sqrt{2}$，
∴四棱锥P-ABCD全面积S=2×$2+2×2\sqrt{2}+2×2$=8+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查立体几何的综合问题，考查异面直线PB和DE所成角的余弦值、四棱锥P-ABCD全面积，属于中档题．