Question

【题目】已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a>0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）。

（1）求实数a，b的值；

（2）若不等式f（2k）>1成立，求实数k的取值范围；

（3）定义在[p，q]上的函数（x），设p=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=q，x1，x2，…，xn-l将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M>0，使得和式恒成立，则称函数（x）为在[p，q]上的有界变差函数。试判断函数f（x）是否为在[0，4]上的有界变差函数?若是，求M的最小值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）10

【解析】试题分析：（1）由已知中在区间的最大值为9，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于，的方程组，解得，的值；（2）由（1）参数，的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为或，解出不等式得到的取值范围；（3）根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，分成，两个区间进行分别判断，进而判断是否恒成立，从而求出结论.

试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故解得

（2）由已知可得为偶函数，所以不等式可化为或，解得，即实数的取值范围是.

（3）函数为上的有界变差函数。

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

且对任意划分，

不妨设，

所以有，，

所以

；

当时， ；

当时， ，

综上，存在常数使得恒成立，所以的最小值为10。