Question

已知函数f（x）=2x³-3x²+a的极大值为6．
（1）求a的值；
（2）当x∈[-2，2]，且t∈[-1，1]时，f（x）≥kt-25恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性与导数关系，求出极大值的表达式，解出a即可．
（2）f（x）≥kt-25恒成立 只需kt-25小于等于f（x）的最小值-22．转化成-22≥kt-25 对t∈[-1，1]恒成立．令g（t）=kt-3，再利用函数性质解决求解．

解答：解：（1）由f（x）=2x³-3x²+a得f′（x）=6x²-6x，再由6x²-6x＞0，得出x∈（-∞，0）∪（1，+∞）
由6x²-6x＜0，得出0＜x＜1．
f（x）在∈（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减．f（x）在x=0处取得极大值．
∴f（0）=a，又函数的极大值为6，所以a=6．
（2）当x∈[-2，2]，f（x）=2x³-3x²+6的最小值为 f（-2）=-22．
∴-22≥kt-25即kt-3≤0．令g（t）=kt-3则g（-1）≤0，且g（1）≤0．解得-3≤k≤3．

点评：本题考查函数单调性与导数关系及应用，求极值、最值．考查不等式恒成立问题，构造法以及函数思想．是好题．