Question

已知数列的各项分别是：

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n×(n+1)

，
它的前n项和为S_n．
（1）计算：S₁，S₂，S₃，由此猜想S_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）得到的结论．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）设a_n=

1

n×(n+1)

，利用裂项法可知a_n=

1

n

-

1

n+1

，于是可求得S₁，S₂，S₃，由此猜想S_n的表达式；
（2）利用数学归纳法，先证明当n=1时，等式成立，再假设当n=k时，等式成立，即S_k=

k

k+1

，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答： 解：（1）设a_n=

1

n×(n+1)

，则a_n=

1

n

-

1

n+1

，
故S₁=

1

2

，S₂=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）=

2

3

；S₃=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）=

3

4

；
故猜想S_n=

n

n+1

．
（2）证明：①当n=1时，S₁=

1

2

，成立；
②假设当n=k时，等式成立，即S_k=

k

k+1

，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

k+1

+（

1

k+1

-

1

(k+1)+1

）=1-

1

(k+1)+1

=

k+1

(k+1)+1

，即n=k+1时也成立，
综合①②知，对任意n∈N^*，S_n=

n

n+1

．

点评：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．