Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点是F₁，F₂，点P（$\sqrt{2}$，1）在椭圆C上，且|PF₁|+|PF₂|=4
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，即a=2，将点P（$\sqrt{2}$，1）的坐标代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b=$\sqrt{2}$即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意可知：设M（x₀，y₀），则有x₀²+2y₀²=4，直线MP的方程为y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$），令y=0，得x=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，从而丨OE丨=丨$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$丨．，同理即可求得丨OF丨=丨$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}+{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$丨，则丨OE丨•丨OF丨=丨$\frac{2{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}-1}$丨=丨$\frac{2{y}_{0}^{2}-（4-2{y}_{0}^{2}）}{{y}_{0}^{2}-1}$丨=4．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，即a=2．[（2分）]
将点P（$\sqrt{2}$，1）的坐标代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得$\frac{2}{4}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：b=$\sqrt{2}$．[（4分）]
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．[（5分）]
（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（$\sqrt{2}$，-1）．
设M（x₀，y₀），则有x₀²+2y₀²=4，x₀≠$\sqrt{2}$，y₀≠±1．[（6分）]
直线MP的方程为y-1=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$），[（7分）]
令y=0，得x=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，[（8分）]
∴丨OE丨=丨$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$丨．
直线MQ的方程为：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$（x-$\sqrt{2}$），[（9分）]
令y=0，得x=$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}+{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$，[（10分）]
∴丨OF丨=丨$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}+{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$丨．
∴丨OE丨•丨OF丨=丨$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$丨•丨$\frac{\sqrt{2}{y}_{0}+{x}_{0}}{{y}_{0}+1}$丨=丨$\frac{2{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}-1}$丨=丨$\frac{2{y}_{0}^{2}-（4-2{y}_{0}^{2}）}{{y}_{0}^{2}-1}$丨=4[（12分）]
∴丨OE丨•丨OF丨=4
丨OE丨•丨OF丨为定值．[（14分）]

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．