已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域;
(2)c为何值时,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.
分析:根据题意,函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),有两个未知参数,进而分析由x∈(-3,2)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.可知x=-3和x=2是函数f(x)的零点,由此可以得到两个参数的两个方程,解此两方程求出a,b的值.
(1)f(x)在[0,1]内是减函数,由单调性求出两端点,即可得到值域.
(2)构造函数g(x)=-3x2+5x+C,不等式ax2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立,由于函数g(x)在[1,4]上是减函数,故一定有
g(1)≤0,由此不等式可以解出c的取值范围.
解答:解:由题意得x=-3和x=2是函数f(x)的零点且a≠0,则
| 0=a×(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab | 0=a×22+(b-8)×2-a-ab |
| |
解得
∴f(x)=-3x
2-3x+18.
(1)由图象知,函数在[0,1]内单调递减,
∴当x=0时,y=18;
当x=1时,y=12,
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].
(2)令g(x)=-3x
2+5x+C、
∵g(x)在[
,+∞)上单调递减,要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立,则需要g(1)≤0.
即-3+5+c≤0,解得c≤-2,
∴当c≤-2时,不等式ax
2+bx+c≤0在[1,4]上恒成立.
点评:本题考查函数的图象与性质,单调性、零点,方程根与零点的对应关系,综合性强.