Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线 上．
（1）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：△AOB的面积为定值；
（2）设直线 与圆M 交于不同的两点C，D，且|OC|=|OD|，求圆M的方程；
（3）设直线 与（Ⅱ）中所求圆M交于点E、F，P为直线x=5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线GH过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可设圆M的方程为 ，

即 ．

令x=0，得 ；令y=0，得x=2t．

∴ （定值）

（2）解：由|OC|=|OD|，知OM⊥l．

所以 ，解得t=±1．

当t=1时，圆心M 到直线 的距离 小于半径，符合题意；

当t=﹣1时，圆心M 到直线 的距离 大于半径，不符合题意．

所以，所求圆M的方程为

（3）解：设P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），又知 ， ，

所以 ， ．

因为3kPE=kPF，所以 ．

将 ， 代入上式，

整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①

设直线GH的方程为y=kx+b，代入 ，

整理得 ．

所以 ， ．

代入①式，并整理得 ，

即 ，

解得 或 ．

当 时，直线GH的方程为 ，过定点 ；

当 时，直线GH的方程为 ，过定点

检验定点 和E，F共线，不合题意，舍去．

故GH过定点

【解析】（1）由题意可设圆M的方程为 ，求出圆M分别与x轴、y轴交于点A、B的坐标，利用面积公式，可得：△AOB的面积为定值；（2）由|OC|=|OD|，知OM⊥l，解得t=±1，再验证，即可求圆M的方程；（3）设P（5，y0），G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20=0．①设直线GH的方程为y=kx+b，代入 ，利用韦达定理，确定直线方程，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程．