Question

如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4。

（1）证明PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成的角；
（3）求点P到平面QAD的距离。

Answer 1

解：（1）连结AC、BD，设 由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥， 所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD 从而P、O、Q三点在一条直线上， 所以PQ⊥平面ABCD。 （2）由题设知，ABCD是正方形， 所以AC⊥BD 由（1），QO⊥平面ABCD 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，-2），B（0，，0） 所以， 于是 从而异面直线AQ与PB所成的角是。
（3）由（2），点D的坐标是（0，-，0），，， 设是平面QAD的一个法向量， 由得 取x=1，得 所以点P到平面QAD的距离。