Question

已知点B′为圆A：（x-1）²+y²=8上任意一点、点B（-1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）已知点M（x₀，y₀）为曲线E上任意一点．求证：点P(

3x0-2

2-x0

，

4y0

2-x0

)关于直线x₀x+2y₀y=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）求出A的坐标，由题意可知M满足椭圆的定义，求a、b可得它的方程．
（2）设出定点利用对称知识，和已知直线垂直，中点在已知直线上，解出定点坐标即可．

解答：解：（1）连接MB，
∴MB=MB'，MA+MB′=AB′=2

2

故MA+MB=2

2

、而AB=2（4分）
∴点M的轨迹是以A、B为焦点且长轴长为2

2

的椭圆．
∴点M的轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1（8分）
（2）证明：设点P(

3x0-2

2-x0

，

4y0

2-x0

)
关于直线x₀x+2y₀y=2的对称点为Q（a，b）
所以

4y0 2-x0 -b

3x0-2 2-x0 -a

=

2y0

x0

．
即

4y0-b(2-x0)

3x0-2-a(2-x0)

=

2y0

x0

（10分）
∴bx₀（2-x₀）=2y₀（2-x₀）（a+1）．
∵x₀≠2
∴bx₀-2y₀（a+1）=0（14分）
因为上式对任意x₀，y₀成立，
故

a+1=0 b=0

所以对称点为定点Q（-1，0）．（16分）

点评：本题考查圆的标准方程，点关于直线对称问题，轨迹的求法，是难题．