【题目】已知椭圆:
的右顶点为
,离心率为
,点
在椭圆上,点
与点
关于原点对称.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求经过点,
且和
轴相切的圆的方程;
(3)若,
是椭圆上异于
,
的两个点,且
,点
在直线
的上方,试判断
的平分线是否经过
轴上的一个定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
;(3)是,
.
【解析】
(1)根据点的坐标满足椭圆方程,结合离心率即可求得椭圆方程;
(2)由(1)中所求即可知点坐标,设出直线方程,根据题意,列方程求解即可;
(3)设出直线、
的斜率分别为
、
,以及两条直线的方程,联立椭圆方程,根据韦达定理,求得
两点的坐标,结合
//
,找到
之间的关系,即可容易求得.
(1)由,解得
,
所以椭圆的标准方程为:
.
(2)设经过点,
且和
轴相切的圆的圆心为
,半径为
,
圆的方程为,由题意可知
,因为
,
在圆上,
所以,解得
或
,
故所求的圆的方程为或
.
(3)设点、
分别为
、
,直线
、
的斜率分别为
、
,
联立直线与椭圆方程
,
化简得,
∵是方程的一个解,∴
,则
,
同理可得,则
,
∴直线的斜率
,
又∵且
,∴
,化简得
,
∴直线、
关于直线
对称,即
为
的角平分线所在的直线,
∴的角平分线经过
轴上的定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居民显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,根据连续7天的新增病例数计算,下列各个选项中,一定符合上述指标的是__________.
①平均数; ②标准差
; ③平均数
且标准差
;
④平均数且极差小于或等于2; ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆,右顶点为
,右焦点为
,
为坐标原点,
,椭圆
过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
(
在
之间),求
与
面积之比的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(其中
是常数,且
),曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求的值;
(2)若存在(其中
是自然对数的底),使得
成立,求
的取值范围;
(3)设,若对任意
,均存在
,使得方程
有三个不同的实数解,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的右焦点为
.直线
被称作为椭圆
的一条准线.点
在椭圆
上(异于椭圆左、右顶点),过点
作直线
与椭圆
相切,且与直线
相交于点
.
(1)求证:.
(2)若点在
轴的上方,
,求
面积的最小值.
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【题目】已知点是抛物线
上一点,点
为抛物线
的焦点,
.
(1)求直线的方程;
(2)若直线与抛物线
的另一个交点为
,曲线
在点
与点
处的切线分别为
,直线
相交于点
,求点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大学开学期间,该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手,该快餐店提供了两种日工资结算方案:方案规定每日底薪100元,外卖业务每完成一单提成2元;方案
规定每日底薪150元,外卖业务的前54单没有提成,从第55单开始,每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取100天的数据,将样本数据分为
七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率;
(2)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案的概率为
,选择方案
的概率为
.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘,四人选择日工资方案相互独立,求至少有两名骑手选择方案
的概率,
(3)若仅从人日均收入的角度考虑,请你为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
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